게이지 이론의 발전사/김재관. 펌

김재관

개 요

비가환 게이지 이론(non-Abelian Gauge Theories)의 되틀맞춤(renormalization)을 이룬 업적으로 게라드 토프트(Gerard 't Hooft)와 마틴 벨트만(Martin Veltman)은 1999년도 노벨 물리학상을 받게 되었다. 이를 계기로, 이 업적이 물리학사에서 차지하는 의미를 자세히 쉽게 풀이하여 보기로 하자. 그리고 이 업적이 이루어진 후 입자물리학 연구에 한창 활력이 불고있을 당시 한국에서의 연구 활동에 대하여도 회상하여 보기로 한다.

어떻게 세상이 만들어졌는지를 이해하기 위해서는 물질을 구성하고 있는 소립자들간의 상호작용이 어떻게 이루어지고 있는지를 설명하는 자연의 네 가지 힘(중력, 전자기력, 약력 및 강력)에 대한 이론이 필요하다. 최근까지는 이 네가지 힘에 대하여 각각 다른 이론이 필요하였다. 첫 두 힘, 중력과 전자기력은 그 힘의영역이 무한대에 이르므로 물질을 밀고 당기는 것을 통하여 우리에게 아주 친숙하게 느껴진다. 그러나 나머지 두 힘, 약력과 강력은 그 힘의 영향력이 아주 짧아 원자핵의 반경 이상 미치지 못하므로 우리는 직접 감지할 수가 없다. 강력은 양성자와 중성자를 원자핵 속에 묶는 역할을 하고 또한 쿼크들을 묶어 양성자와중성자를 이루는 역할을 한다. 약력은 주로 어떤 핵이나 입자의 붕괴를 일으키는 역할을 한다.

물리학자들의 오랜 갈망은 이 네 가지 힘을 통합하는 한 개의 대통합이론을 만드는 데 있다. 이 통합이론은 아주 성격이 다른 이 힘들의 깊은 관계를 알려줄 것이라고 상상한다. 그러나 이 대통합이론은 현재 끈 이론이라는 이름 하에 상당한 진전을 보였지만 아직 완성되지 않았다. 그러나 전자기력과 약력은 전자기 약작용이론(electroweak theory) 하에서 통합이 되었으며 관계되는 모든 실험을 잘 설명한다. 현재까지의 연구에 위하면, 이 네 가지 힘들은 모두 한곳 대칭성(local symmetry)을 갖고 있는 비가환 게이지 이론(non- Abelian gauge theories)으로 설명이 되고 있다. 이 게이지 이론의 중요한 일은 힘의 여러 가지 성질을 자연의대칭성과 연결시켜 주는 것이다. 게이지 이론의 역사적 발전과 토프트와 벨트만의 획기적인 역할에 대하여 자세히 설명하고자 한다.

게이지 대칭성(Gauge Symmetry)

한곳 대칭성을 갖고있는 첫 게이지 이론은 1868년에 도입된 막스웰의 전기장과 자기장의 이론이다. 전기장과 자기장은 공간의 각 점에서 크기와 방향을 가진 벡타장이다. 전기장은 전하의 분포에 의하여 결정되며 전기퍼텐셜에서 편리하게 유도할 수 있다. 자기장은 전하의 운동에서 생성되고 자기퍼텐셜에서 쉽게 유도할 수 있다. 이 전기 및 자기퍼텐셜에 한곳 게이지 전환을 하여도 원래의 전기 및 자기장은 불변하게 된다. 전기퍼텐셜의 어떤 한곳변화에도 보충적인 자기퍼텐셜의 변화를 줌으로써 항상 전기 및 자기장을 불변하게 할 수 있다.

막스웰의 전자기이론은 고전적이고 비양자역학적이지만 관계되는 게이지 대칭성은 전자기 상호작용의 양자이론인 양자전기역학(Quantum Electrodynamics)에서도 성립된다. 이 양자이론에서는 전자를 양자역학적인 파동이나 장(field)으로 표현할 필요가 있다. 전자의 양자이론에서는 전기퍼텐셜의 변화는 전자장(electron field)의 위상변화(phase change)를 일으키게 된다. 전자의 스핀은 1/2이므로 두 스핀상태를 가지며 관계되는 장은 두 성분을 가져야 한다. 각 성분은 복소수로 표현되어야 한다. 전자장은 움직이는 파동묶음이며 이것은 장의 실성분과 허성분의 진폭 진동이다. 여기서 강조하고 싶은 것은 전자장은 전자의 전기장이 아니고 전자의 물질장이라는 것이다. 만약에 전자가 전하를 갖고 있지 않을 때도 이 장은 존재한다. 이 장은 주어진 시공간 점에서 어떤 스핀 상태에 있는 전자를 찾는 확률로 정의된다. 확률은 장의 실성분과 허성분의 제곱의 합으로 주어진다. 그러나 전자장의 위상을 측정하는 것은 실험적으로 불가능하며 또한 위상이 어떤 실험 결과에도 영향을 줄 수 없다. 만약 실험에 영향을 준다면 그 실험을 사용하여 위상을 결정할 수 있기 때문이다. 따라서 전자장은 어떤 위상변화 하에서도 대칭성을 갖고 있다. 양자장의 위상을 마음대로 조절할 수 있는 이러한 대칭을 게이지 대칭성이라고 한다. 게이지 대칭성은 역사적으로 1920년에 헬만 와일(Hermann Weyl)이 전자기학과 일반상대론을 통합하려고 시도하는 과정에서 처음으로 도입되었다. 위에서 기술한 전자장 대칭성은 모든 장소에서 동시에 같은 위상변화를 주는 온곳 게이지 대칭성(global gauge symmetry)이다. 어떤 다른 물질이나 복사 없이 전자장 홀로의 이론은 한곳 게이지 변환(local transformation) 하에서 불변하지 않는다는 것을 다음에 보여준다.

게이지 이론(Gauge Theories)

게이지 이론은 온곳 혹은 한곳 게이지 대칭성을 갖게 만들 수 있다. 그러나 한곳 대칭성을 가진 이론이 오늘날 각광을 받고 있다. 한곳 변환 하에서 불변인 이론을 만들기 위해서는 힘이라는 새로운 양을 포함해야한다. 입자간의 상호작용을 기술하는 현대이론에서는 힘의 작용은 입자 사이를 힘의 양자가 교환되는 것으로 기술한다. 예를 들면 두 전자간의 상호작용은 전자를 둘러싸고 있는 전자기장의 양자인 광자의 교환으로 생각한다. 교환된 양자는 아주 짧은 생존밖에 못한다. 한번 방출된 양자는 같은 입자나 다른 입자에 의하여 아주 짧은 시간 내에 재흡수 되어야만 한다. 힘의 양자는 한없이 갈 수도 없고 실험으로 검출할 수도 없다. 이러한 실체를 가상입자(virtual particle)라고 부른다. 상호작용 범위는 교환되는 양자의 질량에 관계된다. 만약에 가상입자의 질량이 크면 생존을 위하여 더 많은 에너지를 빌려야되며 불확정성 원리에 따라 더 빨리 돌려주어야 한다. 따라서 입자가 재흡수 전에 갈 수 있는 거리는 줄어들고 관련된 힘의 범위는 짧아진다. 교환된 양자의 질량이 영인 특수한 경우에는 힘의 범위는 무한대가 된다.

한곳 게이지 대칭성과 부합하는 전자에 대한 양자이론을 만들 때 전자장에 힘의 장을 추가시킴으로서 전자의 위상변화를 보충시킬 수 있게 한다. 전자의 위상이 시간과 공간의 임의의 함수로 변화할 때 이 새로 도입된 힘의 장이 모든 관측 가능량의 불변을 보존하여야 한다. 이 조건을 만족하는 장은 스핀이 일인 벡터 장이다. 그리고 전공간에서 전자장의 위상변화를 조화시키기 위해서는 이 벡터장의 작용범위는 무한대가 되어야 한다. 그러므로 힘양자의 질량이 영이어야 한다. 이런 성질을 잘 만족하는 장은 전자기장이며그 장의 양자는 광자이다. 위에서 보였듯이 전자기장은 홀로 한곳 게이지 대칭성을 만족하므로 전자기장과 전자장을 합치면 국소 게이지 대칭성을 만족한다. 이 두 장의 연결은 전자의 전하와 전자기장과의 상호작용에서 온다. 이 상호작용 때문에 전자기장 속에서 전자물질파의 전파는 전기 퍼텐셜과 자기 벡터 퍼텐셜을 설정해야만 적절히 표현할 수 있다. 일단 이 두 퍼텐셜의 값이 정해지면 전자파의 위상은 모든 곳에서 고정된다. 그러나 전자기장의 한곳 대칭 때문에 모든 시공간 점에서 전기 퍼텐셜에 임의의 값을 독립적으로 줄 수 있다. 이 이유로 전자 물질장의 위상도 모든 점에서 어떤 값도 가질 수 있지만 전기 및 자기 퍼텐셜이 취한 내용과 부합해야 한다. 전자 물질장과 전자기장을 합쳐서 결과로 나온 이론을 양자전기역학이라고 한다.

양자전기역학

(Quantum Electrodynamics)

양자 전기역학은 파울 디락(Paul Dirac)이 1928년에 시작하였으나 20년간의 발전 끝에 리차드 파인만(Richard Feynman), 쥬라안 슈윙거(Julian Schwinger)와 신이찌로 도모나가(Sin-Itiro Tomonaga)에 의하여 1948년에 완성되었다. 디락은 파동함수를 사용하여 특수상대론과 부합하게 전자를 양자역학적으로 취급하였다.디락 이론의 가장 중요한 결과 중 하나는 전자처럼 전하를 갖고 있는 모든 입자에는 반드시 질량은 같고 전하는 반대인 반입자가 존재해야 한다는 것이었다. 양전자는 칼 앤덜슨(Carl Anderson)이 1932년에 우주선실험에서 발견하였으며 디락과 앤덜슨은 노벨 물리학상을 받았다. 1920년대 말과 1930년대 초에 양자전기역학을 사용하여 광자-전자 산란, 전자-전자 산란, 전자-양전자 소멸과정 등 많은 물리현상을 계산하였다. 그러나 이론결과는 에너지가 낮은 영역에서 실험과 잘 일치하였으나 에너지가 높은 영역에서는 계산 결과가 무한대로 나오는 문제가 발생하였다.